[发明专利]一种基于命题逻辑概率赋值的近似推理模式算法

摘要

本发明公开了一种基于命题逻辑概率赋值的近似推理模式算法，与现有技术相比，本发明将经典命题逻辑的赋值域由二值{0,1}推广到给定的概率空间，引进命题公式的概率赋值，概率赋值是经典命题逻辑二值赋值及各种真度概念的推广。利用概率赋值引入命题公式的概率真度、不可靠度、基于独立事件赋值集的概率真度等概念，通过讨论概率真度的性质，证明全部命题公式基于独立事件赋值集的真度之集在[0,1]中没有孤立点，在命题逻辑形式推演中一个有效推理结论的不可靠度不超过各前提的不可靠度与其必要度的乘积之和。在概率赋值基础上，引进命题公式集的a.e.结论、依概率结论、依概率真度结论等概念，讨论这些概念之间的联系，提出两个不同类型的近似推理模式。

主权项

一种基于命题逻辑概率赋值的近似推理模式算法，其特征在于，包括以下步骤：(一)命题逻辑的概率赋值：设S＝{q₁,q₂…}为原子公式集,q表示原子公式,F(S)是由S生成的型自由代数,称F(S)中的元素为命题公式,设(Ω,Λ,P)是概率空间,Λ中的元素称为事件,对α,β∈Λ规定α→β＝(Ω‑α)∪β,则是型代数,并且也是Boolean代数,Ω为必然事件,是最大元,φ为不可能事件,是最小元；定义1:①设(Ω,Λ)是σ‑代数,Λ中的元素也称为事件,P是Λ上的概率,称型同态v:F(S)→Λ为F(S)的(事件)赋值,即有v(A→B)＝v(A)→v(B).公式A的赋值的概率P(v(A))称为的概A率真值.易知P(v(A→B))＝P(v(A)→v(B))＝P((Ω‑v(A))∪v(B))＝P((Ω‑v(A))∪(v(A)∩v(B)))＝1‑P(v(A))+P(v(A)∩v(B)).为了与通常的命题逻辑赋值概念相区别,公式的(事件)赋值连同其概率真值称为公式的概率赋值,F(S)上全体概率赋值之集记为Σ_P；②设A∈F(S),若v∈Σ_P,有P(v(A))＝1,则称A为概率重言式；若v∈Σ_P,有P(v(A))＝0,则称A为概率矛盾式,易证若v为F(S)的概率赋值,则P(v(A∪B))＝P(v(A)∪v(B)),P(v(A∩B))＝P(v(A)∩v(B)).由于F(S)是由S生成的自由代数,故概率赋值v由它在S上的限制v|_S惟一确定.特别,当我们考虑的是F(S)的一个有限子集F时,这时自然可以考虑概率赋值v:F(S)→Λ在F上的限制v|_F；定义2:设Ω＝{a,b,c},Ω的幂集ρ({a,b,c})上的概率空间:令v₁(q₁)＝φ,v₁(q₂)＝{a,b},v₁(q₃)＝{c},则v₁确定一个概率赋值, 如设则P(v₁(A))＝1；又令v₂(q₁)＝{a},v₂(q₂)＝{b},v₂(q₃)＝Ω,,则v₂确定另外一个概率赋值定理1:如果A是重言式,则A是概率重言式.反之,当(Ω,Λ,P)是正规概率空间(即P({ω})＞0)时,如果A为概率重言式,则A为重言式.对概率矛盾式有类似的结论.定义3:设A,B∈F(S),若A→B为概率重言式,则称A概率重言蕴含B(简称A重言蕴含B),记作.若且则称A与B概率重言等价(简称A与B重言等价),记作注1:(a)有0≤P(v(A))≤1；(b)若A重言蕴含B,则有P(v(A→B))＝1‑P(v(A))+P(v(A)∩v(B))＝1,即有,P(v(A))＝P(v(A)∩v(B)).因此,P(v(A))＝P(v(A)∩v(B))≤P(v(B)).P(v(A)∩v(B))＝P(v(A))＝min{P(v(A)),P(v(B))},P(v(A)∪v(B))＝P(v(B))＝max{P(v(A)),P(v(B))}；(c)若A与B重言等价,则总有P(v(A))＝P(v(B))；(d)若A与B是逻辑不相容,即A与B的合取式A∧B为矛盾式,则P(v(A∨B))＝P(v(A)∪v(B))＝P(v(A))+P(v(B))‑P(v(A∧B))＝P(v(A))+P(v(B))；(e)如果有v(A)与v(B)独立,则称公式A与B独立,这时,P(v(A∨B))＝P(v(A∧B))＝P(v(A)∩v(B))＝P(v(A))×P(v(B))；以上的注说明对任何一个赋值v,P(v(·))满足Kolmogorov公理,即P(v(·))是全体公式集F(S)上的概率.设S＝{q₁,q₂…}为原子公式集,q表示原子公式,F(S)是由S生成的型自由代数,称F(S)中的元素为命题公式,设(Ω,Λ,P)是概率空间,Λ中的元素称为事件,对α,β∈Λ规定α→β＝(Ω‑α)∪β,则是型代数, 并且也是Boolean代数,Ω为必然事件,是最大元,φ为不可能事件,是最小元；定义1:①设(Ω,Λ)是σ‑代数,Λ中的元素也称为事件,P是Λ上的概率,称型同态v:F(S)→Λ为F(S)的(事件)赋值,即有v(A→B)＝v(A)→v(B).公式A的赋值的概率P(v(A))称为的概A率真值.易知P(v(A→B))＝P(v(A)→v(B))＝P((Ω‑v(A))∪v(B))＝P((Ω‑v(A))∪(v(A)∩v(B)))＝1‑P(v(A))+P(v(A)∩v(B)).为了与通常的命题逻辑赋值概念相区别,公式的(事件)赋值连同其概率真值称为公式的概率赋值,F(S)上全体概率赋值之集记为Σ_P；②设A∈F(S),若v∈Σ_P,有P(v(A))＝1,则称A为概率重言式；若v∈Σ_P,有P(v(A))＝0,则称A为概率矛盾式,易证若v为F(S)的概率赋值,则P(v(A∪B))＝P(v(A)∪v(B)),P(v(A∩B))＝P(v(A)∩v(B)).由于F(S)是由S生成的自由代数,故概率赋值v由它在S上的限制v|_S惟一确定.特别,当我们考虑的是F(S)的一个有限子集F时,这时自然可以考虑概率赋值v:F(S)→Λ在F上的限制v|_F；定义2:设Ω＝{a,b,c},Ω的幂集ρ({a,b,c})上的概率空间:令v₁(q₁)＝φ,v₁(q₂)＝{a,b},v₁(q₃)＝{c},则v₁确定一个概率赋值,如设则P(v₁(A))＝1；又令v₂(q₁)＝{a},v₂(q₂)＝{b},v₂(q₃)＝Ω,,则v₂确定另外一个概率赋值定理1:如果A是重言式,则A是概率重言式.反之,当(Ω,Λ,P)是正规概率空间(即P({ω})＞0)时,如果A为概率重言式,则A为重言式.对概率矛盾式有类似的结论.定义3:设A,B∈F(S),若A→B为概率重言式,则称A概率重言蕴含B(简称A重言蕴含B),记作.若且则称A与B概率重言等价(简称A与B重言等价),记作注1:(a)有0≤P(v(A))≤1；(b)若A重言蕴含B,则有P(v(A→B))＝1‑P(v(A))+P(v(A)∩v(B))＝1,即有,P(v(A))＝P(v(A)∩v(B)).因此,P(v(A))＝P(v(A)∩v(B))≤P(v(B)).P(v(A)∩v(B))＝P(v(A))＝min{P(v(A)),P(v(B))},P(v(A)∪v(B))＝P(v(B))＝max{P(v(A)),P(v(B))}；(c)若A与B重言等价,则总有P(v(A))＝P(v(B))；(d)若A与B是逻辑不相容,即A与B的合取式A∧B为矛盾式,则P(v(A∨B))＝P(v(A)∪v(B))＝P(v(A))+P(v(B))‑P(v(A∧B))＝P(v(A))+P(v(B))；(e)如果有v(A)与v(B)独立,则称公式A与B独立,这时,P(v(A∨B))＝P(v(A∧B))＝P(v(A)∩v(B))＝P(v(A))×P(v(B))；以上的注说明对任何一个赋值v,P(v(·))满足Kolmogorov公理,即P(v(·))是全体公式集F(S)上的概率.(二)命题逻辑的概率真度理论：因为概率赋值v:F(S)→Λ由它在S上的限制唯一确定,亦即每一个映射v:S→Λ都可唯一扩充为一个概率赋值,因此若v(q_k)＝v_k(k＝1,2,…),则并称T(v)＝(v₁,v₂,…)为一个赋值状态,此处Λ_k＝Λ,且不表示通常的无穷乘积代数而是被看作为集合Λ_k(k＝1,2,…)的无穷乘积(以下记之为Λ^∞).反之,若则存在唯一概率赋值v∈Σ_P使得v(q_k)＝v_k(k＝1,2,…).因此是1‑1映射.设Λ^*是乘积空间Λ^∞上的一个σ‑代数,μ^*是Λ^*上的概率测度.通过映射可将Λ^*上的概率测度μ^*转化为Σ_P上的概率测度μ,即对若则记称μ为μ^*的导出概率测度.又记则(Σ_P,Θ,μ)是一个概率测度空间,并称之为由(Λ^∞,Λ^*,μ^*)的导出概率测度空间.按照计量逻辑观点,一个公式A可决定全体概率赋值集Σ_P上的一个函数:A:Σ_P→[0,1],A(v)＝P(v(A)).定义4:设Λ^*是Λ^∞上的σ‑代数,μ^*是Λ^*上的一概率测度,(Σ_P,Θ,μ)是由(Λ^∞,Λ^*,μ^*)导出的概率测度空间,则称为命题公式A的概率真度.注2:设A＝A(q₁,q₂,…,q_t)是一个有t个原子公式的公式,通过以上映射对概率真度作以下的形式转换有助于概率真度的计算.明显地,公式A确定一个如下的t元函数:记则易证Δ^t是Λ^t上的σ‑代数.因此若定义μ^*(t):Λ^t→[0,1],则μ^*(t)是有限乘积空间Λ^t上的概率测度,称为μ^*在Λ^t上的限制,此时可得概率真度的如下计算公式对一个有t个原子的公式A＝A(q₁,q₂,…,q_t),t元函数当然也可以按如下方式看作t+i元函数:因此,概率真度有如下的积分形式不变性质.命题1:设A＝A(q₁,q₂,…,q_t)是一个有t个原子的公式,则有注3:设Ω＝{ω₁,ω₂,…,ω_m}是有限概率空间,公式A＝A(q₁,q₂,…,q_t),记Auto＝{q₁,q₂,…,q_t}为A中出现的全部原子公式之集,v∈Σ_P是A的一个概率赋值,则称T_A(v)＝(v(q₁),v(q₂),…,v(q_t))∈Λ^t是公式A的一个真值状态.又记A的全体真值状态(总共有l＝2^tm个)之集为T_A(v)＝{T_A(v₁),…,T_A(v_l)},P_t是T_A上的正规概率分布,即0＜P_t(T_A(v_i))＜1(i＝1,2,…,l),若记P_k＝P(k＝t+1,t+2,…),由于Λ^∞可视为Λ^t,Λ_t+1,Λ_t+2,…的无穷乘积空间,则由P_t,P_t+1,P_t+2,…也可以生成上唯一概率测度μ^*＝P_t×P_t+1×…,使得对于T_A(v_i),都是μ^*‑可测集,且所以特别地,如果P_t是T_A上的均匀概率分布,即P_t(T_A(v_i))＝1/2^tm,则命题2:概率真度具有以下性质(1)0≤τ(A)≤1.(2)若A与B逻辑等价,则τ(A)＝τ(B).(3)若A为重言式(矛盾式),则τ(A)＝1(τ(A)＝0).(4)(5)τ(A∨B)＝τ(A)+τ(B)‑τ(A∧B).(6)若A→B为重言式,则τ(A)≤τ(B).证明:(1)‑(4)易证.(5)对v∈Σ_P,(A∨B)(v)＝P(v(A∨B))＝P(v(A)∪v(B))＝P(v(A))+P(v(B))‑P(v(A)∩v(B))＝P(v(A))+P(v(B))‑P(v(A∧B))＝A(v)+B(v)‑(A∧B)(v).所以(6)因A→B为重言式,故由(2)有τ(A→B)＝1.从而因此因为等价的逻辑公式有相等的概率真度,从而当把一个含有n个原子的公式视为与之等价的含n个以上原子的公式时,其真度不会变化.如公式A＝q₁→q₂是含有2个原子的公式,另有一个与A等价但含有3个原子的公式则A与B有相等的概率真度.这也就是说,命题公式的概率度有形式上的不变性.(三)赋值为独立事件的公式真度：对一般的概率赋值v,不一定有P(v(q₁∧q₂))＝P(v(q₁))×P(v(q₂)),但当赋值v的取值限制在Ω中的独立事件时,上述式子是成立的,这部分讨论的是基于这些赋值的部分真度的性质.设且Λ₀中的事件两两独立.又设v是如下形式的赋值:对任何原子公式q,值v(q)在Λ₀中,这样取值于独立事件的赋值全体记为Σ₀.以下假设是μ‑可测集.命题3:设v∈Σ₀,公式A,B由不同的原子公式构成,则P(v(A∧B))＝P(v(A))×P(v(B)).证明:设v∈Σ₀,A,B是两个不含相同原子公式的公式.以下对A,B中原子公式的个数用归纳法证明结论成立.首先假设A只含有一个原子公式q₁.(1)当B也只含有一个原子公式r₁时,则P(v(q₁∧r₁))＝P(v(q₁)∩v(r₁))＝P(v(q₁))×P(v(r₁)).或者此时结论成立.(2)设当B＝B(k)包含有不超过k个原子公式时结论成立,下证对含有k+1个原子公式的公式B结论也成立.注意到F(S)中的公式都由原子公式和联结词自由生成且联结词之间有关系式:故B必为B(k+1)或且B(k+1)为以下形式之一:B(k+1)＝B(k)∨r_k+1,P(v(q₁∧(B(k)∨r_k+1)))＝P((v(q₁)∩v(B(k)))∪(v(q₁)∩v(r_k+1)))＝P(v(q₁)∩v(B(k)))+P(v(q₁)∩v(r_k+1))‑P(v(q₁)∩v(B(k))∩v(r_k+1))＝P(v(q₁))×P(v(B(k)))+P(v(q₁))×P(v(r_k+1))‑P(v(q₁))×P(v(B(k))×P(v(r_k+1))＝P(v(q₁))×(P(v(B(k)))+P(v(r_k+1))‑P(v(B(k)))×P(v(r_k+1))＝P(v(q₁))×(P(v(B(k)))+P(v(r_k+1))‑P(v(B(k))∩v(r_k+1))＝P(v(q₁))×P(v(B(k))∪v(r_k+1))＝P(v(q₁))×P(v(B(k)∨r_k+1)).类似可证其它两种情形,且因此,对含有k+1个原子公式的公式B结论成立,即P(v(q₁∧B))＝P(v(q₁))×P(v(B)).其次,如果公式B有多个原子公式,类似于以上的证明,有P(v(A∧B))＝P(v(A))×P(v(B)).定义5:记称τ₀(A)为公式A的基于独立事件赋值集Σ₀的真度.定理2:设公式A和B没有共同的原子公式,则τ₀(A∧B)＝τ₀(A)×τ₀(B).证明:为表示的方便,不妨设因A和B没有共同的原子公式,故公式A∧B一个赋值v也相应确定了公式A的一个赋值和公式B的一个赋值于是命题4:若记B(n)＝q₁∧q₂∧…∧q_n,A(n)＝q₁∨q₂∨…∨q_n,则有证明:若记则由以上命题和定理,有由知因此又由知因此定理3:全部公式基于赋值集Σ₀的真度之集{τ₀(A)|A∈F(S)}在[0,1]中没有孤 立点.证明:设A＝A(q₁,q₂,…,q_n)∈F(S),ε＞0.以下证存在公式B∈F(S),使得|τ₀(A)‑τ₀(B)|＜ε且τ₀(A)≠τ₀(B).(1)τ₀(A)＝0,则有公式B(k)＝q_n+1∧…∧q_n+k,使得τ₀(B(k))＜ε.取B＝B(k),则|τ₀(A)‑τ₀(B)|＝τ₀(B(k))＜ε.(2)τ₀(A)＝1,令则τ₀(B)＝1‑τ₀(B(k))≠τ₀(A)＜ε,且|τ₀(A)‑τ₀(B)|＜ε.(3)0＜τ₀(A)＜1,令B＝A∨B(k),则有τ₀(B)＝τ₀(A)+τ₀(B(k))‑τ₀(A∧B(k))＝τ₀(A)+τ₀(B(k))‑τ₀(A)∧τ₀(B(k)).从而τ₀(A)≠τ₀(B),且|τ₀(A)‑τ₀(B)|＝τ₀(B(k))(1‑τ₀(A))＜τ₀(B(k))＜ε.定理4:若记则或证明:分或两种情形证明.(1)假设则因有不等式1‑x≤e^‑x,故又由假设因此即证(2)假设由于故有由于故因此(四)形式推演中结论的不可靠度估计：定义6:称为公式A的不可靠度.定义7:设A^*∈F(S),如果{A₁,A₂,…,A_n}├A^*,则称为有效推理,且称A₁,A₂,…,A_n为该推理的前提,A^*为该推理的结论.设为有效推理,这时可能某些前提是不必要的,即,结论A^*也可能是{A₁,A₂,…,A_n}的某真子集(k＜n)的结论.为区分各前提在推理中的必要性,以有文献引入了如下的前提必要度概念:定义8:设是有效推理,以Γ记{A₁,A₂,…,A_n},对Γ的子集E,如果结论A^*不能从Γ‑E中的前提推出,则称E为必要前提集.设A_i是Γ中的任一前提,以δ(A_i)记Γ中包含着A_i的个数最少的必要前提集(简称极小前提集)中前提的个数,令e(A_i)＝1/δ(A_i),称e(A_i)为A_i的必要度.如果不存在包含A_i的极小前提集,则规定e(A_i)＝0.定理5:设是有效推理,则结论A^*的平均不可靠度不超过各前提的平均不可靠度与其必要度的乘积之和,即U(A^*)≤e(A₁)U(A₁)+e(A₂)U(A₂)+…+e(A_n)U(A_n).证明:记Γ＝{A₁,A₂,…,A_n}.由概率真度的形式不变性,不妨设全部公式中出 现有t个原子公式.对任一概率赋值v∈Σ_P,其真值状态为T(v).由于对任一赋值v,μ(v(·))可看作是Γ上的概率,故公式A₁,A₂,…,A_n,A^*的不可靠度分别为1‑μ(v(A₁)),1‑μ(v(A₂)),…,1‑μ(v(A_n)),1‑μ(v(A^*)),由概率逻辑学基本定理,有1‑μ(v(A^*))≤e(A₁)(1‑μ(v(A₁)))+e(A₂)(1‑μ(v(A₂)))+…+e(A_n)(1‑μ(v(A_n))).于是所以U(A^*)≤e(A₁)U(A₁)+e(A₂)U(A₂)+…+e(A_n)U(A_n).上述定理的表述与概率逻辑学中基本定理相似,但概率逻辑学中的不可靠度是基于F(S)的有限子集Γ＝{A₁,A₂,…,A_n}上的概率分布得到,而上面定理5中的平均不可靠度是在F(S)的全体概率赋值集上所定义的概念,它是基于概率真度(是全部公式集F(S)上的一个概率分布)而得到.换一个角度说,概率逻辑学中的不可靠度是一个基于有限公式子集Γ上概率分布的部分概念,而本文所引进的随机计量逻辑学的不可靠度则是一个基于整个公式集F(S)上的全体概率分布(由概率赋值定义,它也可看作为全体公式集F(S)上的一个概率分布)的整体概念,它的值是通过对公式集F(S)到概率空间的全部概率赋值进行计算而得到.应用上述定理还得到概率真度的如下性质:命题5:设A,B,C∈F(S),α,β∈[0,1].(1)若τ(A)≥α,τ(A→B)≥β,则τ(B)≥α+β‑1；(2)若τ(A→B)≥α,τ(B→C)≥β,则τ(A→C)≥α+β‑1.证明:(1)显然A,是一个有效推理,且e(A)＝1,e(A→B)＝1,则U(B)≤e(A)U(A)+e(A→B)U(A→B)即τ(B)≥α+β‑1.和(1)类似的方法可证(2).推论1:设A,B,C∈F(S),α,β∈[0,1],(1)若τ(A)＝1,τ(A→B)＝1,则τ(B)＝1；(2)若τ(A→B)＝1,τ(B→C)＝1,则τ(A→C)＝1.(五)基于概率赋值的近似推理模式:定义9:设A∈F(S),D(Γ)表示全体Γ结论之集.(i)如果存在和有限个公式使得则称A是Γ的a.e.结论.特别地,若Γ＝φ,则称A是一个a.e.定理.(ii)如果δ＞0,存在有限个公式使得则称A是Γ的依概率结论.特别地,若Γ＝φ,则称A是一个依概率定理.(iii)如果存在有限个公式使得则称A是Γ的依概率真度结论.特别地,若Γ＝φ,则称A是一个依概率真度定理.注4:在经典逻辑系统中,Γ＝{B₁,B₂,…,B_n}是有限公式集,A是一个Γ结论,则是重言式,从而也是概率重言式,于是因此即所以A是Γ的a.e.结论.定理6:如果A是Γ的a.e.结论,则A是Γ的依概率结论.证明:因A是Γ的a.e.结论,存在μ(N)＝0和有限公式使得取单调下降序列则单调增加,且由概率的连续性有因此,对任何的δ＞0,有K₁＞0使得当k＞K₁时另一方面,由知,任给ε＞0,有K₂＞0使得当k＞K₂时,ε_k＜ε.若取K＝max{K₁,K₂},则当k＞K时所以上述定理成立.定理7:如果A是Γ的依概率结论,则A是Γ的依概率真度结论.证明:任给ε＞0,由于A是Γ的依概率结论,存在有限公式使得记因此这就证明A是Γ的依概率真度结论.根据以上结论,我们给出两个基于概率赋值的近似推理模式.定义10:设(Ω,Λ,P)是概率空间.A∈F(S),ε＞0,(i)如果存在有限个公式使得则称A为Γ的依概率误差小于ε的结论,记为特别地,当Γ＝φ时,称A为依概率误差小于ε的定理,记为├_(μ,ε)A(ii)如果存在有限个公式使得则称为Γ的依概率真度误差小于ε的结论,记为特别地,当Γ＝φ时,称A为依真度误差小于ε的定理,记为├_(τ,ε)A.由定理6.4的证明,易知下面的结论成立.如果A是Γ的依概率误差小于ε的结论,则A必为Γ的依概率真度误差小于2ε结论.例:设Ω＝{a,b,c},P({a})＝1/2,P({b})＝1/4,P({c})＝1/4,2^Ω为Ω的幂集,Γ＝{q₁∨q₂,q₁∨q₃},A＝q₁.Γ∪{A}有2⁹＝512个不同的真值状态,记为T_Γ∪{A}＝{T(v₂),T(v₂),…,T(v₅₁₂)},其中v_i的编号顺序如下:在给公式q₁,q₂,q₃赋值时分别按先φ,次{a},{b},{c},再次{a,b},{b,c},{c,a},最后Ω的次序如,v₁(q₁)＝φ,v₁(q₂)＝φ,v₁(q₃)＝φ；v₂(q₁)＝φ,v₂(q₂)＝φ,v₂(q₃)＝{a}；v₃(q₁)＝φ,v₃(q₂)＝φ,v₃(q₃)＝{b}；…；v₅₁₂(q₁)＝Ω,v₅₁₂(q₂)＝Ω,v₅₁₂(q₃)＝Ω.又设T_Γ∪{A}上概率分布P_t为:其中常数因为q₁∨q₂→(q₁∨q₃→q₁)不是定理,故由(q₁∨q₂)∧(q₁∨q₃),q₁∨(q₂∧q₃)可证等价和(q₁∨q₂)∧(q₁∨q₃)∈D(Γ)可知q₁∨(q₂∧q₃)∈D(Γ),且于是,对ε＝0.02,有公式q₁∨(q₂∧q₃)∈D(Γ)使得τ(q₁∨(q₂∧q₃)→q₁)＞1‑ε.因此A＝q₁为Γ＝{q₁∨q₂,q₁∨q₃}的依概率真度误差小于0.02的结论.又因为q₁∧(q₁∨q₂)∧(q₁∨q₃)与q₁可证等价,取ε＝0.03,则有μ({v:|((q₁∨q₂)∧(q₁∨q₃))(v)‑(q₁∧(q₁∨q₂)∧(q₁∨q₃))(v)|≥0.03})＝μ({v:|(q₁∨(q₂∧q₃))(v)‑q₁(v)|≥0.03})＝μ({v:|P(v(q₁)∪(v(q₂)∩v(q₃)))‑P(v(q₁))|≥0.03})＝0.0226＜0.03.于是,对ε＝0.03,有公式q₁∨(q₂∧q₃)∈D(Γ)使得μ({v:|((q₁∨q₂)∧(q₁∨q₃))(v)‑(q₁∧(q₁∨q₂)∧(q₁∨q₃))(v)|≥ε})＜ε.因此A＝q₁为Γ＝{q₁∨q₂,q₁∨q₃}的依概率误差小于0.03的结论。